搭乗前に ESTA の承認書を印刷する必要がありますか？

いいえ。ESTA は電子的に処理されるため、搭乗前に承認を印刷する必要はありません。
旅行者は空港に印刷した書類を持参する義務はありません。

ただし、ご自身の記録用として承認結果の写しを保管しておくことは役立ちます。
申請番号を確認したり、承認状況を再確認したりする必要がある場合に便利です。

つまり、ESTA 承認書の印刷は必須ではありません。
それでも、印刷した写しまたはデジタルの写しのいずれかを保管しておくことは、渡航準備として実用的です。